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摘要
用于精密干涉测量的高反射率涂层必须同时最小化光学损耗和热驱动位移噪声。介质布拉格反射镜提供稳健的高反射率，但依赖于厚多层涂层，而超表面反射镜提供高反射率和低噪声，但对制造引起的偏差敏感。本文介绍了一种面向制造的混合反射镜概念，它结合了共振单层超表面、蚀刻停止层、反共振间隔层和缩减的布拉格反射器。光学设计中明确考虑了制造效应，包括几何公差和线边缘粗糙度。全波电磁仿真与截断高斯蒙特卡罗分析相结合，以确定在假设制造条件下的性能分布。理想超表面设计超过 99.999% 的反射率。经过粗糙度感知的再优化后，在 95% 的制造良率下，建模的非反射功率保持在 2.88 · 10⁻⁴ 以下。对于低温 ET 探路者引力波测试平台，三个布拉格层对将完整堆叠的非反射功率降低至约 6.4 ppm。估计在 100 Hz 时的热位移噪声幅度谱密度为 8.4 · 10⁻²¹ m Hz⁻¹/²。该架构在单一设计框架内连接了制造鲁棒性、光学性能和热噪声降低。
关键词：超表面，布拉格反射镜，计量学，热噪声，干涉测量，制造不确定性，线边缘粗糙度
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文章名：Fabrication-Aware Design of a Hybrid Metasurface-Bragg Mirror for Low-Noise Precision Optics
作者：Mika Gaedtke†,∗ Christian Kranhold† Markus Walther Falk Eilenberger Stefanie Kroker Thomas Siefke
单位:Mika Gaedtke, Prof. Dr. Stefanie Kroker Institut f¨ur Halbleitertechnik, Technische Universit¨at Braunschweig, Hans-Sommer-Str. 66, 38106 Braun schweig, Germany
Laboratory for Emerging Nanometrology, Langer Kamp 6a-b, 38106 Braunschweig, Germany Christian Kranhold, Markus Walther, Dr. Falk Eilenberger, Dr. Thomas Siefke Friedrich Schiller University, Institute of Applied Physics, Albert-Einstein-Str. 15, 07745 Jena, Germany
Dr. Falk Eilenberger, Dr. Thomas Siefke Fraunhofer Institute for Applied Optics and Precision Engineering IOF, Albert-Einstein-Str. 7, 07745 Jena, Germany
Prof. Dr. Stefanie Kroker Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Bundesallee 100, 38116 Braunschweig, Germany
Dr. Thomas Siefke Ernst Abbe University of Applied Sciences Jena, Carl-Zeiss-Promenade 2, 07745 Jena, Germany
*这些作者对这项工作贡献相同
1 引言
高反射率反射镜是精密干涉测量系统（包括超稳激光腔、光学频率计量和引力波探测器）中的关键组件。在这些系统中，反射镜基底和涂层的热驱动涨落会导致位移噪声，从而限制可达到的灵敏度或频率稳定性 [1–4]。因此，用于精密计量的反射镜技术必须将极高的反射率和低光学吸收与最小的热致噪声相结合。
传统的高反射率介质反射镜由高折射率和低折射率材料交替层组成。层数的增加会提高反射镜的反射率，但也会增加源自涂层的热噪声 [5]。高折射率对比度可以减少所需的层数，但可达到的噪声幅度根本上与涂层材料的机械损耗相关 [6]。低损耗非晶和晶体涂层材料的发展表明，降低机械耗散可以显著提高精密干涉仪的性能，尽管光学吸收、可扩展性和制造复杂性仍然是重要的制约因素 [4, 7, 8]。
共振介质超表面为高反射率布拉格反射镜提供了一种替代方案。通过在单个结构化层内周期性排列亚波长高折射率结构，可以实现接近一致的反射率 [9, 10]。与传统涂层相比，这些结构通常表现出非常低的热噪声幅度 [11, 12]，并已在高精细度光学腔中得到实现 [13]。然而，共振光学响应对纳米结构的几何参数高度敏感。因此，在光刻、刻蚀和层沉积过程中引入的偏差会显著降低所获得的反射率。除了标称尺寸的变化外，线边缘粗糙度可以改变有效折射率分布并进一步降低光学响应 [14, 15]。因此，需要进行统计公差分析和不确定性量化，以区分标称性能和制造后预期的性能 [16]。
我们引入了一种面向制造的混合反射镜概念，它将共振介质超表面的低噪声潜力与最小支撑布拉格涂层的鲁棒性相结合。超表面的光学响应使用严格耦合波分析计算，并通过有限元仿真独立验证。制造引起的偏差，包括线边缘粗糙度以及几何和材料参数的同时偏差，被纳入设计过程以确定预期的性能分布，而不仅仅是标称响应。该分布随后用于设计支撑布拉格涂层，并估计完整集成架构的热噪声性能。低温 ETpathfinder 干涉仪 [17] 作为所提出结构的一个苛刻应用示例。由此产生的概念旨在作为一个通用的材料和设计框架，用于将共振纳米结构集成到高反射率反射镜中。
2 混合反射镜概念
图1：混合超表面-布拉格反射镜概念的示意图。集成标准具由以下部分组成：(1) 共振周期超表面，(2) 蚀刻停止层，(3) 反共振间隔层，(4) 布拉格反射镜和 (5) 衬底。超表面提供主要的反射贡献，而布拉格反射镜补偿在实际制造条件下剩余的残余透射。
图1展示了所提出的混合反射镜架构。该反射镜形成一个集成薄膜结构，由共振介质超表面、薄蚀刻停止层、反共振间隔层、缩减的布拉格反射器和支撑衬底组成。共振超表面提供主要的反射贡献。底层布拉格反射镜的功能是抑制通过结构化层透射的残余功率，特别是在制造引起的偏差降低其标称反射率时。超表面和布拉格涂层之间的间隔层有两个相关功能。其光学厚度被选择为建立集成结构的反共振相位条件，而其几何厚度限制了共振纳米结构与后涂层之间的近场相互作用。薄蚀刻停止层防止制造过程中过度蚀刻进入间隔层。与两个反射器形成宏观腔的配置 [13] 不同，本架构的所有组件都集成在一个紧凑的涂层堆叠中。以下各节首先建立超表面的光学响应和制造公差，然后确定完整混合反射镜所需的布拉格涂层层数。
3 设计
3.1 超表面的光学设计
所提出的混合反射镜的前反射器由氢化非晶硅（aSi:H）脊的周期阵列组成。选择氢化非晶硅而非非氢化变体，是因为其在设计波长 λ₀ = 1550 nm 处具有显著更低的光学吸收。用于仿真和计算的所有材料参数可在表1中找到。氢化非晶硅可实现的消光系数比传统非晶硅低至多两个数量级 [18–20]。超表面的低吸收对于混合反射镜的性能至关重要。通过超表面的残余透射可以由布拉格反射镜补偿，而在超表面内吸收的功率则是不可逆损失的。对于所提出的设计，使用非氢化非晶硅作为超表面材料将导致约 40 ppm 的吸收值。超表面的设计如图2所示，超表面几何结构的示意图如图2 a)所示。仿真堆叠由位于 20 nm 厚非晶 Al₂O₃ 蚀刻停止层顶部的 aSi:H 层和半无限 SiO₂ 衬底组成。在最终设计中，后者成为将超表面与布拉格反射镜分隔开的有限间隔层。超表面的每个晶胞由周期 P、脊宽 W 和高度 H 描述。该结构由正入射平面波照射，磁场平行于脊（另见图1）。所选设计的归一化磁场和电场幅度如图2 b)所示，显示在超表面脊内有一个强束缚的磁模式。
图2：周期超表面的设计。设计波长为 λ₀ = 1550 nm。晶胞周期为 599 nm。超表面由位于 SiO₂ 间隔层顶部的 Al₂O₃ 蚀刻停止层顶部的一维周期 aSi:H 脊组成。a) 超表面示意图。W 为宽度，H 为高度，P 为超表面周期。b) 超表面内部的归一化磁场和电场。c) RCWA 仿真。星号标记所选配置，W = 374 nm，H = 381 nm。d) FEM 仿真。结果证实了通过 RCWA 确定的选定几何结构。
几何参数使用严格耦合波分析（RCWA）[21, 22] 结合无梯度优化 [23] 进行优化。最终配置的结果如图2 c)所示。最终结构的宽度和高度固定为 W = 374 nm 和 H = 381 nm，如图2 c)中的星号所示。进行了独立的 FEM 仿真以验证几何结构，结果如图2 d)所示。两种仿真的预测反射率非常一致，分别为 R_RCWA ≈ 0.9999962 和 R_FEM ≈ 0.9999953。这对应于 0.9 ppm 的差异。在由 1 − R ≤ 10⁻⁵ 定义的共同高反射区域内，反射率的平均绝对差异为 0.63 ppm。小的残余差异与两种方法采用的不同的数值离散化一致：FEM 在有限空间网格上近似电磁场，而 RCWA 使用有限数量的傅里叶谐波来表示场和介电常数 [24]。
3.2 线边缘粗糙度对超表面性能的影响
图3：考虑线边缘粗糙度（LER）的再优化超表面设计。a) 理想脊边界与粗糙脊边界的示意图对比。粗糙度被夸大以便于观察。b) 显示硅上电子束敏感抗蚀剂层中 LER 的代表性 SEM 图像。c) 具有 LER 的超表面的 RCWA 仿真。粗糙度通过折射率分布的高斯平滑实现，半高全宽为 6.8 nm。再优化设计的周期为 P = 602 nm，脊宽为 W = 384 nm，脊高为 H = 381 nm。
上一节中呈现的结果假设了完美结构，包括完全尖锐和平直的材料界面。在实际中，光刻和随后的图案转移步骤将不可避免地导致线边缘粗糙度（LER）[25]。这对应于脊边界沿脊方向的随机变化。图3 a)显示了理想脊边界与粗糙脊边界的示意图对比。图3 b)显示了硅上电子束敏感抗蚀剂层中 LER 的代表性 SEM 图像。为了在仿真中考虑这一效应，使用了一个简化模型，将 LER 描述为超表面边界处折射率分布的 S 形平滑 [14]。LER 通过对折射率分布应用半高全宽为 6.8 nm 的高斯平滑来建模，该值是根据先前光刻和刻蚀工艺的标准偏差估计的 [14, 15]。解析随机变化的脊边界将需要大规模三维仿真和多个粗糙度实现的统计评估。该有效模型主要捕获高空间频率粗糙度分量的影响，并用作 LER 影响的上限估计。上一节中提出的超表面几何结构在 RCWA 仿真中纳入 LER 模型后进行了再优化，所得的反射率图如图3 c)所示。选定的再优化设计周期为 P = 602 nm，脊宽为 W = 384 nm，脊高为 H = 381 nm。
在下一节中，原始设计和 LER 优化设计都将接受统计制造公差分析，以比较它们预期的制造良率。
3.3 超表面的制造公差分析
电子束光刻、层沉积和随后的图案转移会引入与预期几何参数的偏差。在上一节中，LER 被视为折射率分布的系统性平滑，而其余的制造公差则被视为统计变化。进行了蒙特卡罗分析 [26] 以评估它们对超表面光学性能的影响。输入参数在根据底层制造工艺估计的不确定性区间内重复随机采样，并对所得几何结构进行评估。这允许同时考虑多个参数的变化和相互作用 [16]。
我们的分析包括周期、脊宽、脊高、蚀刻停止层厚度和侧壁角的变化。此外，还考虑了所有材料折射率实部的变化。所有偏差均从以零为中心、在 ±2 个标准差处截断的高斯分布中采样。这些假设的标准差为：周期 0.25 nm，脊宽 12.5 nm，脊高 5 nm，蚀刻停止层厚度 2.5 nm，侧壁角 2.5°。折射率的相对标准差为 0.15%。
原始设计和 LER 优化设计接受了相同的统计分析，将相同的随机生成参数变化应用于两种设计。总共为每种设计评估了 20,000 个实现。此外，两种情况下都包含了相同的 LER 模型，对应于半高全宽为 6.8 nm 的高斯平滑。这允许在相同的制造条件下比较 LER 再优化的影响。
图4：包含制造不确定性的超表面蒙特卡罗公差分析。未优化设计与 LER 再优化设计进行了比较。总非反射功率显示为 a) 脊宽变化、b) 脊高和底层蚀刻停止层高度变化以及 c) 侧壁角变化的函数。灰色和蓝色点分别代表原始和 LER 再优化设计的 20,000 个几何结构。实色线显示中位数，而虚色线显示相应最差的 5% 的实现。垂直虚线表示相应输入分布的半高全宽。
图4显示了制造公差分析的结果。总非反射功率，包括残余透射和吸收，显示为超表面几何结构变化的函数。图4中显示的每个点代表一个蒙特卡罗实现。尽管结果是针对单个制造参数绘制的，但所有剩余的几何和材料参数都是同时变化的。结果表明，对于 LER 再优化设计，所有几何变化的非反射功率都有显著改善。对于非常小的非反射功率，所有几何结构都受到吸收损耗的限制。
图5：从蒙特卡罗制造公差分析获得的总非反射功率的累积分布。原始几何结构与 LER 再优化几何结构进行了比较。未优化设计在 95% 的概率下达到 1 − R = 1.35 · 10⁻³，而 LER 优化设计达到 1 − R = 2.88 · 10⁻⁴。
完整的分布比较如图5所示。曲线显示了非反射功率保持在给定阈值以下的模拟几何结构的比例。在 95% 的累积概率下，原始几何结构达到 1 − R = 1.35 · 10⁻³，而 LER 再优化几何结构的该值降低至 1 − R = 2.88 · 10⁻⁴。因此，再优化将该阈值的损耗降低了约 4.7 倍。这些结果表明，考虑 LER 的再优化改善了标称光学性能以及预期的制造良率。在 95% 良率下的非反射功率 1 − R = 2.88 · 10⁻⁴ 将用作最终设计中超表面的预期性能。95% 的阈值是任意选择的。选择较低的制造良率概率将提高所制造器件的预期反射率，但同时降低了实际达到所需反射率的几率。在下一节中，将讨论布拉格涂层和间隔层厚度的合适选择。
3.4 支撑布拉格涂层和间隔层的选择
布拉格涂层材料系统的选择是特定于应用的，并不代表普遍最优解。特别是，所研究涂层的相对性能取决于工作温度和波长、光学要求以及假设的低温材料参数。因此，目前的比较是针对第4节中介绍的 ETpathfinder 案例研究进行的。在满足 T_res ≤ 10⁻⁵ 的配置中，aSi/HfO₂ 产生最低的估计涂层布朗噪声，并被选为支撑反射器。比较的详细信息见附录B。最终的层对数随后由完整混合反射镜的残余透射要求确定。
SiO₂ 间隔层厚度被选择以满足反共振条件，同时抑制超表面与第一个布拉格层之间的直接近场相互作用。两个反射器的反射相位均经过数值评估，并用于选择间隔层厚度。计算的更多细节见附录C。进一步增加不再有意义地改变模拟残余透射的最小可能厚度为 d_spacer ≈ 809 nm。
4 ETpathfinder 工作条件下的性能评估
ETpathfinder 是一个低温研发设施，旨在为未来的引力波观测站开发技术，特别与爱因斯坦望远镜相关。该设施在约 10 m 尺度上实现完整的干涉仪配置，允许在系统级低噪声条件下研究低温测试质量、光学组件、悬挂和冷却系统以及先进的降噪技术 [17]。其初始设计考虑两种互补的工作配置：一种在 18 K 下使用硅测试质量和 1550 nm 波长，另一种在 123 K 和 2090 nm 下工作。在本工作中，1550 nm 和 18 K 的配置作为评估所提出的混合反射镜架构的苛刻应用示例。对于此案例研究，相关的光学和机械参数为残余透射目标 T_res ≤ 10⁻⁵、高斯光束半径 2.2 mm，以及在 10 Hz 机械频率下目标位移灵敏度低于 10⁻¹⁸ m/√Hz。这些系统级要求决定了支撑布拉格层对的数量，从而将通用混合反射镜概念转化为特定应用的设计。
最终的反射镜设计由 LER 优化超表面、20 nm 厚的 Al₂O₃ 蚀刻停止层、809 nm 厚的 SiO₂ 间隔层、三个 aSi/HfO₂ 层对和厚度为 1 mm 的晶体硅衬底组成。布拉格涂层的三个层对是实现低于 10 ppm 残余透射所需的最小数量，完整反射镜的非反射功率为 1 − R ≈ 6.4 · 10⁻⁶。估计的热噪声幅度谱密度如图6所示。混合反射镜热噪声的建模在附录D中讨论。总标准具噪声根据公式5计算为所有单独贡献的不相关和。反射镜的非反射功率随层对数量的变化以及最终结构的示意图如图7所示。
在低机械频率下，总热噪声主要由 SiO₂ 间隔层的布朗和热弹性贡献主导。热弹性贡献随频率增加而更强烈地减小，此后间隔层的布朗噪声在整个频率范围内成为主要的单个噪声贡献。布拉格涂层的布朗噪声是第二大贡献，尽管其显著小于间隔层的布朗噪声，因此对总热噪声幅度没有显著影响。
对于所选配置，在 100 Hz 机械频率下估计的总热噪声约为 8.4 · 10⁻²¹ m/√Hz。在图6所示的整个评估频率范围内，总噪声保持在预计的 ETpathfinder 涂层热噪声一个数量级以上。由于总噪声是根据公式5作为不相关和计算的，因此未考虑热弹性和热折射效应之间的相关性，计算出的总噪声幅度代表了一个保守估计。
图6：具有三个 aSi/HfO₂ 层对的混合反射镜的热噪声预算，实现非反射功率 1 − R ≈ 6.4 · 10⁻⁶。超表面、布拉格涂层、间隔层和衬底的布朗、热弹性和热折射噪声贡献的幅度谱密度显示为机械频率的函数。实线、虚线和点线分别代表布朗、热弹性和热折射噪声。黑色虚线表示所有贡献的不相关和，而黑色实线显示了用于比较的预计 ETpathfinder 涂层热噪声。所有计算均在 18 K 温度和 2.2 mm 高斯光束半径下进行。
图7 a) 显示了在 100 Hz 机械频率下，标准具的总热噪声幅度和非反射功率与用于布拉格涂层的层对数量的关系。该图显示，由于总热噪声主要由间隔层的布朗噪声贡献主导，增加布拉格层对数量仅对总热噪声幅度有微小影响。三个层对是实现所需低于 10 ppm 残余透射的最小所需数量。超过 6 个布拉格层对不再对非反射功率有任何影响，因为它受到超表面吸收的限制。图7 b) 显示了最终结构的示意图，包含所有几何参数以及整个结构的归一化磁场和电场幅度。场在超表面脊内部及其附近高度局域化，只有一小部分进入布拉格反射镜。这种分布说明了混合反射镜的预期功能。超表面提供主要的反射贡献，而最小的布拉格涂层补偿剩余的透射。两者的结合满足了透射要求，同时显著降低了与多层涂层相关的估计热噪声贡献。
图7：aSi/HfO₂ 布拉格层对数量对混合反射镜在 100 Hz 机械频率下光学和热噪声性能的影响。a) 在 100 Hz 机械频率下，布拉格涂层和间隔层的总热位移噪声和布朗噪声贡献，以及非反射功率。箭头指示相应的纵轴。三个层对代表最小的布拉格堆叠，其非反射功率 6.4 ppm 保持在 ETpathfinder 要求的 10 ppm 以下。对于 6 个或更多层对，非反射功率受到超表面吸收的限制。b) 具有三个布拉格层对的所选混合反射镜的示意图，以及整个结构的归一化磁场和电场幅度。最终几何参数为：P = 602 nm，W_meta = 384 nm，H_meta = 381 nm，H_spacer = 809 nm，H_aSi = 102.67 nm，H_HfO₂ = 188.84 nm 和 H_cSi = 1 mm。
5 结论
我们提出了一种面向制造的混合超表面-布拉格反射镜架构，它将共振介质超表面的低噪声潜力与缩减支撑布拉格涂层的光学鲁棒性相结合。超表面提供主要的反射贡献，而间隔层和布拉格涂层被选择以建立所需的相位关系并补偿制造受限的残余透射。线边缘粗糙度通过有效平滑模型纳入，同时使用截断高斯蒙特卡罗分析评估了几何和材料的同时变化。包含线边缘粗糙度的再优化将建模的 95% 分位数非反射功率从 1.35 · 10⁻³ 降低到 2.88 · 10⁻⁴，相当于提高了约 4.7 倍。
作为一个代表性的应用示例，该架构在 ETpathfinder 的 1550 nm 和 18 K 工作条件下进行了评估。在此情况下，基于估计的低温布朗噪声选择了 aSi/HfO₂ 布拉格涂层。三个层对足以将完整反射镜的非反射功率降低至约 6.4 ppm。在 100 Hz 时估计的热位移噪声为 8.4 · 10⁻²¹ m/√Hz，并且在所研究的整个频率范围内，总噪声保持在预计的 ETpathfinder 涂层热噪声一个数量级以上。总噪声主要由 SiO₂ 间隔层的布朗贡献主导，而缩减的布拉格涂层仅提供微小的贡献。这些结果表明，制造受限超表面的残余透射可以通过最小的支撑布拉格涂层来抑制，同时保持低热噪声幅度。所提出的框架直接连接了制造公差、光学性能和热噪声降低，并可适用于其他制造工艺和公差范围。该概念为下一代引力波探测器（包括爱因斯坦望远镜）以及其他精密光学系统（如光学钟和超稳腔）提供了一条通往高反射率、低噪声光学器件的可扩展路径。
A 材料参数
表1：计算中使用的材料参数（T = 18 K）：杨氏模量 Y，泊松比 ν，密度 ρ，热导率 κ，比热 C，热膨胀系数 α，热光系数 β，折射率 n，消光系数 k，以及机械损耗因子 φ。
*数值是从引用的参考文献中估算或外推得到的。
B 基于布朗热噪声的布拉格反射镜选择
作为评估不同布拉格反射镜配置的品质因数，考虑了它们的涂层布朗热噪声。布朗噪声通常代表高反射率介质反射镜涂层中主要的热噪声贡献之一，因此为反射镜性能的初步比较提供了合适的度量。热光效应，包括热弹性和热折射噪声，在此阶段不包括在内，而是在所选设计的完整标准具噪声分析中稍后考虑。涂层布朗噪声使用 Harry 等人 [5] 引入的分析模型进行估计。该方法提供了近似的位移噪声功率谱密度，同时仅需要有限的一组材料参数。布朗位移噪声功率谱密度由下式给出：
其中 k_B 为玻尔兹曼常数，T 为温度，d_coat 为涂层总厚度，φ_coat 为有效涂层机械损耗角，f 为机械频率，r_0 为入射高斯光束的光束半径，Y_coat 和 Y_sub 分别为涂层和衬底的杨氏模量。有效涂层机械损耗角使用各材料损耗角的弹性能量加权平均来估计：
其中 φ_i、d_i 和 Y_i 分别为第 i 种涂层材料的机械损耗、层厚度和杨氏模量。与纯厚度加权平均方法相比，这种近似考虑了以下事实：布朗热噪声源于涂层材料内通过涨落-耗散定理的机械能量耗散 [5,6]。在有效介质近似中，因此不应仅根据厚度来均等贡献各层。相反，存储较大弹性能量比例的各层应对涂层的有效机械损耗做出更大贡献。有效涂层杨氏模量通过各层模量的厚度加权平均来近似：
只有残余透射 T_res ≤ 10⁻⁵ 的布拉格反射镜设计才会被进一步考虑。表2总结了所研究的配置及其总层数和计算的涂层布朗噪声幅度谱密度。所有配置的衬底材料均为晶体硅。计算中使用的所有材料参数可在表1中找到。
表2：使用满足 T_res ≤ 10⁻⁵ 所需的最小四分之一波长层对数量的布拉格反射镜配置比较。光学性质使用传输矩阵方法计算，采用表1中列出的复折射率。结构从空气以正入射照射，并沉积在半无限晶体硅衬底上。布朗噪声估计对应于 18 K 的温度、100 Hz 的机械频率和 2.2 mm 的高斯光束半径。
根据表2所示的结果，由非晶硅和氧化铪组成的配置最有前景，将用于最终设计。尽管由非晶硅和二氧化硅组成的配置总层数显著更少，但二氧化硅在低温下的高机械损耗因子导致更高的噪声幅度。由氧化铪和二氧化硅以及五氧化二钽和二氧化硅制成的反射镜在此比较中具有最高的噪声幅度，因为它们由于两种材料之间的低折射率对比度而由大量总层数组成。除此之外，二氧化硅的高机械损耗因子也显著增加了这些配置的整体噪声。
C 近场约束间隔层选择
由于超镜和布拉格反射镜形成一个标准具，间隔层厚度必须满足设计波长下的反共振条件 [65]：
其中 λ₀ 为真空波长，n_spacer 为间隔层材料的折射率，Φ_upper 为由超表面和蚀刻停止层组成的顶层反射所添加的相位，Φ_DBR 为布拉格反射镜反射所添加的相位，m 为整数。使用 FEM 仿真评估的相位分别为 Φ_upper = 0.9449π rad 和 Φ_DBR = −0.9994π rad。尽管 m = 0 的最低阶解代表最小可能的几何厚度，但它不一定适用于我们的设计。对于太小厚度，超表面后面的倏逝场将耦合到布拉格反射镜的第一层，因此显著增加总透射率。因此，我们数值评估了公式4给出的所有可能间隔层长度，逐次增加阶数。间隔层厚度选择为 m 的最小值，此时进一步增加不再降低模拟透射率。这在 m = 1 时实现，得到间隔层厚度 d_spacer ≈ 808.759 nm。
D 混合反射镜的热噪声建模
本节介绍用于估计混合反射镜热位移噪声的热噪声模型。光学涂层中的热噪声主要可分为两类：布朗热噪声和热光噪声。布朗热噪声源于涂层材料内的机械耗散 [5, 66]。在有限温度下，热能激发机械自由度 [6]，导致涂层表面的随机位移以及层的尺寸变化。热光噪声则源于涂层材料内的热耗散 [67]。这些过程引起温度波动，从而导致涂层尺寸和折射率的变化。热光噪声可进一步分为与热驱动尺寸变化相关的热弹性噪声，以及与温度相关折射率涨落相关的热折射噪声 [68]。这些效应共同导致光程长度的空间和时间变化，从而在反射和透射光场中产生相位波动。各热噪声贡献分别针对相关系统组件进行评估，并通过不相关和进行组合：
假设噪声源之间统计独立。这为总热噪声预算提供了一个保守估计。通常，某些机制之间的相关性，特别是热弹性和热折射噪声，可能导致部分补偿效应，从而减少整体热光噪声贡献 [67]。
完整标准具系统的所有热噪声贡献的计算紧密遵循参考文献 [69] 中描述的方案，但有一些例外。超表面、间隔层、布拉格反射镜和衬底的布朗、热弹性和热折射噪声贡献分别计算，然后根据公式5求和。
D.1 布朗热噪声
超表面布朗热噪声的计算基于 Levin [6] 对涨落-耗散定理 [70] 的一种表述，该表述已适用于功能性光学表面的应用 [11, 12]。它能够计算任意形状超表面的布朗噪声 [71]。该方法使用一个虚拟压力，该压力在感兴趣的机械频率下振荡，并施加在纳米结构表面上。弹性能量因此被引入材料中，导致耗散功率：
其中 ω 为振荡的机械角频率，→r 为表面上的位置，ϵ(→r) 为引入的弹性能量密度，ϕ(→r) 为涂层的机械损耗因子。然后可以使用耗散功率来计算布朗热位移噪声的功率谱密度 [6]：
其中 k_B 为玻尔兹曼常数，T 为温度，F_0 为施加在表面上的总力。该施加力的形状完全由结构内电磁能量的分布决定 [11, 72]。结构内部的电场和磁场产生如下形式的有质动力压力：
其中 ∆σ_ij 为麦克斯韦应力张量，i 和 j 为空间坐标基，n 为给定表面的法向量。麦克斯韦应力张量由下式给出：
其中 ε₀ 和 μ₀ 分别为介电常数和磁场常数，E_i 为电场真空振幅，B_i 为磁场振幅，δ_ij 为克罗内克符号。
在参考文献 [69] 引入的方案中，引入了基于透射光分数来缩放其他组件布朗噪声贡献的系数。对于调谐到反共振的标准具，这些系数为 [73]：
其中 R₁ 为超表面的反射率，R₂ 为布拉格反射镜的反射率，n_s 为间隔层的折射率。只有当标准具配置的前后反射镜可以被视为机械解耦时，这些系数才适用于布朗热噪声的计算。布拉格涂层的布朗热噪声通常会产生多种效应：各层厚度的随机尺寸变化和层界面的位移 [66]。这也可能导致整个涂层表面的位移 [5, 66]。在机械解耦系统中，如参考文献 [69] 所示，这种位移不会影响间隔层或超表面的位置。在 [69] 中，超表面和布拉格反射镜位于共享间隔层的前后，且没有下层衬底层。此外，间隔层厚度是光波长的 4000 倍 [69]。这两种假设均不适用于本系统。
由于所有层共享一个共同的衬底层，布朗噪声不能纯粹基于系数 e₁ 和 e₂ 进行缩放。相反，必须考虑由间隔层和超表面层位移引起的噪声贡献。此外，与参考文献 [69] 相比，我们集成设计的间隔层厚度要小得多，因为出于制造目的希望采用最小厚度。这也意味着布拉格反射镜处的场分布不能用高斯轮廓近似，而是需要考虑超表面后面的近场分布。因此，所有布朗噪声贡献的计算将类比于超表面贡献的计算。确定整个堆叠中的电磁场分布，并根据公式8和9在所有材料界面处施加有质动力压力。然后使用由此引入的弹性能量密度，根据公式6和7计算布朗热噪声。
D.2 热弹性噪声
热弹性噪声的计算也基于涨落-耗散定理。此类噪声的耗散机制是由局部体积涨落引起的材料内部热流 [69]。在这种情况下，公式7中的耗散功率由下式给出 [69, 74]：
其中 κ 为热导率，C 为比热容，Y 为杨氏模量，ν 为泊松比，α 为热膨胀系数，ρ 为密度，θ 为应变张量的迹。公式12用于分别计算间隔层、布拉格反射镜和衬底的噪声贡献。超表面的贡献必须通过严格耦合波分析（RCWA）[21] 确定，如参考文献 [29, 69] 所述。一般的温度变化 ∆T 将导致相应材料的相对长度变化 δ = α∆T。对于小的温度变化，反射相位的相应变化具有线性关系 [29, 69]：
其中 K_TE 为由 RCWA 仿真确定的比例因子。需要考虑的贡献包括超表面尺寸的几何变化、表面向入射光方向的有效移动以及超表面周期的变化 [69]。超表面对热弹性（TE）噪声的贡献由下式给出 [29]：
其中 S_T 为温度涨落的噪声功率 [36]：
D.3 热折射噪声
热折射噪声源于折射率随温度的局部涨落 [73]。对于此噪声类型，只需考虑超表面、间隔层和布拉格反射镜。间隔层热折射噪声的功率谱密度由下式给出 [73]：
其中 β 为热光系数，T 为温度，κ 为热导率，d 为间隔层厚度，ρ 为密度，C 为比热，r₀ 为光束半径，f 为机械频率，λ 为波长。第二项源于标准具内部的驻波 [69]。
对于此类噪声，加权系数 e₁ 和 e₂ 变得相关，因为只有间隔层和布拉格反射镜内部透射光的部分才对整体热折射噪声有贡献。对于布拉格反射镜，热折射噪声的功率谱密度由下式给出 [73]：
其中 [73]：
涂层的有效热光系数。这里，下标 1 和 2 对应于涂层堆叠中使用的两种材料。超表面对热折射噪声的贡献与热弹性噪声的贡献类似地确定。通常，超表面材料折射率的变化会改变反射光的相位。对于小变化，相位变化与折射率变化成正比 [69]：
其中 K_TR 同样为比例常数。该常数同样使用 RCWA 仿真进行数值评估。噪声的功率谱密度由下式给出 [29, 69]：
其中 S_T 再次表示温度涨落的噪声功率。
一种面向制造的混合反射镜将共振超表面与缩减的布拉格涂层相结合，使用更少的涂层材料实现高反射率。考虑线边缘粗糙度和同时发生的制造变化产生了一个稳健的设计。在一个低温精密干涉测量案例研究中，三个布拉格层对将非反射功率降低至 6.4 ppm，同时保持较低的估计热噪声。
