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铁电材料因其强非线性特性，支撑着射频（RF）信号处理、光通信以及新兴量子系统等领域的诸多关键技术。钛酸钡（BTO） 就是一个典型的代表，兼具强压电响应和电光响应。
虽然块体钛酸钡已被研究数十年，但其近年来可获得的薄膜形式的压电特性，以及在量子硬件所涉及的毫开尔文温区下的行为，在很大程度上仍属未知。本文中，我们制备并表征了基于薄膜钛酸钡的声表面波（SAW）谐振器。所测器件表现出较高的机电耦合系数（在5.2 GHz频率下，keff2≈14%），且工作频率最高可达7.8 GHz。结合多畴微结构的有限元建模分析，我们从这些测量结果中提取出有效压电系数 d33,eff≈53pC/N，与块体钛酸钡相当。
利用其本征铁电性，我们进一步展示了低电压调控能力，响应速度快达约100纳秒，这对于可重构射频前端和参量放大器等应用颇具吸引力。将测量拓展至毫开尔文温区后，我们发现压电响应仍然存在，d33,eff≈19pC/N，这表明钛酸钡在超导量子电路中用于压电耦合具有潜在应用价值。
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引言
铁电材料因其高介电常数和强自发极化所带来的大非线性响应，已在现代电子和射频技术中得到广泛应用[1]。近年来，铁电薄膜在合成、表征和纳米加工方面的进展，推动了器件的大规模集成。尽管如此，对更低能耗、更宽工作带宽和更小器件尺寸的持续需求，仍然激励着人们寻找具有更强非线性响应的材料。就压电器件而言，无线通信网络中的声学滤波器正积极追求更高的机电耦合强度、更高的工作频率以及本征可切换的响应特性[2–4]。与此同时，量子计算研究的蓬勃发展也为这些材料在量子转换领域开辟了新的应用空间。例如，压电光力学转换器被用于构建超导量子比特的光学互连[5]。机械谐振器与超导量子比特之间的压电耦合也被探索为实现玻色子量子比特编码[6]或量子随机存取存储器[7]等量子硬件组件的途径。这些系统的物理实现需要在毫开尔文温度下具有强机电响应和尽可能低的声学损耗。此前的研究已经利用多种压电材料（包括AlN [6]、GaAs [8]和LiNbO3 [9]）展示了概念验证器件，但实际应用仍需在材料限制下的耦合强度和损耗方面进一步改进。
钛酸钡（BaTiO3，BTO）是一种经典的钙钛矿结构铁电材料，于20世纪40年代被发现[10]。由于其居里温度相对较低，且在相变附近具有强烈的自发极化，钛酸钡的强压电和电光特性长期以来一直受到深入研究[11, 12]。作为一种无铅材料，钛酸钡也为传统的含铅铁电材料（如锆钛酸铅PZT）提供了环境友好的替代方案。近年来，随着单晶钛酸钡薄膜生长技术的进步，人们对钛酸钡在集成光子学中的兴趣才逐渐增长。基于钛酸钡的电光调制器已展现出大的电光系数和超过250 Gb/s的数据传输速率[13, 14]，并且在低温条件下仍能保持较大的电光响应[15]。尽管钛酸钡光子学领域进展迅速，其压电特性受到的关注相对有限。虽然已有MHz和GHz频段的钛酸钡谐振器被报道[4, 16, 17]，但钛酸钡薄膜的力学和压电特性，特别是在低温下的表现，仍相对缺乏深入研究[11]。
在本工作中，我们利用集成叉指换能器（IDT）产生的声表面波（SAW）来探测钛酸钡薄膜的特性。通过分析声表面波谐振及有效机电耦合系数 keff2，我们提取了材料的力学柔顺系数和压电系数，发现其值与块体钛酸钡相当。得到的有效压电系数 d33,eff 为 53±5pC/N，使得所制谐振器的机电耦合强度和工作频率可与当前最先进的器件相媲美。此外，钛酸钡的本征铁电性提供了原位开关和频率调谐能力，开关时间快至约100纳秒，且开关电压低，可与移动电子设备兼容。在毫开尔文温区下的低温实验表明，钛酸钡声表面波器件的压电响应依然存在，显示了钛酸钡在超导量子电路中用于压电耦合的潜力。综合这些结果，薄膜钛酸钡被展示为一个在经典和量子信息技术领域均颇具前景的压电平台，应用范围涵盖可重构射频收发器、量子转换器及量子存储器等。
器件设计
在硅上外延生长单晶钛酸锶（STO）缓冲层的发展，为高质量钛酸钡薄膜的生长提供了晶格匹配的缓冲层[18]。本工作中，我们使用的是商购的叠层结构：在280 µm厚的钛酸锶缓冲硅衬底上，通过射频溅射生长了300 nm厚的钛酸钡薄膜（购自La Luce Cristallina公司）。在室温下，钛酸钡稳定于四方铁电相（4mm点群），其自发极化方向平行于c轴（长轴）[19, 20]。然而，此前的研究表明，薄膜钛酸钡中包含极化方向相反的随机畴[13, 15]，因此宏观极化平均为零，压电响应被抑制。因此，需要施加外部电场进行极化（poling），以统一畴的极化方向[21, 22]。为便于使用面内电极进行极化，我们采用了a轴取向的钛酸钡薄膜（称为a畴），其c轴（即极化方向）位于薄膜平面内。
我们采用声表面波（SAW）来研究钛酸钡薄膜，因为表面局域的声场与薄膜有很好的重叠。声表面波通常由叉指换能器（IDT）激发，叉指电极上的交变电场驱动压电材料产生伸缩形变，从而沿表面发射声波[2]。图1a展示了叉指换能器的一个周期（Λ）。极化通过对电极对施加直流（DC）电压来实现，此时交变电场（黑色箭头）使极化方向（红色箭头）对齐，形成周期性极化结构。声表面波则通过施加微波频段的交流（AC）电压信号来激发。与传统叉指换能器不同，这种周期性极化设计激发的是更高次谐波的声波，其波长为 λ = Λ/2，因为电极之间的极化方向相对于电场具有相同的极性，从而产生周期为Λ/2的压电响应。该设计的一个优势是，在相同叉指尺寸下可获得更高的工作频率，从而放宽了传统声表面波谐振器中限制频率提升的纳米加工约束[2]。
图1b展示了两种声表面波模式（瑞利模式和塞扎瓦模式）的二次谐波的数值模拟结果。两者的区别在于，瑞利模式在钛酸钡中的位移主要是横向的，而塞扎瓦模式则主要是纵向的。叉指对数及电极孔径长度会影响模式约束、机电耦合和阻抗匹配，相关研究见附录C。除非另有说明，本文所示结果均基于以下叉指换能器参数：节距1.8 µm，叉指对数40对，孔径30 µm。电极材料为60 nm厚的铝（Al），采用标准剥离工艺图形化。图1e为典型叉指换能器的光学显微镜图像，图1f为扫描电子显微镜（SEM）图像，其中黄色为电极，灰色为钛酸钡表面。我们将钛酸钡表面上的金字塔状突起归因于c轴畴和随机多晶区域（见附录B）[18]。
钛酸钡声表面波器件的表征
通过在持续施加30 V偏压（使薄膜完全极化）的条件下，使用矢量网络分析仪测量叉指换能器的微波反射谱（S11(ω)）来表征钛酸钡声表面波器件。相应的极化滞回线和开关行为将在后续章节中介绍。图1c展示了一条典型的 S11 频谱，其中在3.7 GHz和5.2 GHz处有两个主导谐振峰，分别对应高阶瑞利模式和塞扎瓦模式。我们根据频率将2.1 GHz和3 GHz处的两个较弱谐振峰分别归因于基频瑞利模式和基频塞扎瓦模式。虽然在理想情况下，由于对称性，这些模式预计不会与周期性极化的叉指换能器耦合，但在实际中，畴分布的不均匀性（及其导致的净极化）会产生产生非零的耦合。为简洁起见，后续章节中的“瑞利模式”和“塞扎瓦模式”均指高阶模式。4.5 GHz处的浅凹陷对应于水平剪切（SH）模式，与压电系数 d15 相关。塞扎瓦模式表现出最强的响应，因为面内应变和电场与钛酸钡的大 d33 系数方向一致[12]。这种强耦合产生了过耦合谐振，其本征耦合速率（γi）和外部耦合速率（γe）分别为76 MHz和113 MHz。我们将较低的本征机械品质因子（Qi≈70）归因于显著的衬底辐射损耗，证据是它与硅衬底的体声波（BAW）模式存在耦合（见附录A及后续章节）。
为量化压电强度，我们采用有效机电耦合系数（keff2），该系数衡量压电材料将电能转换为机械能（或反之）的效率。
图1. 器件设计与表征。 a，叉指换能器一个周期Λ的三维（3D）示意图，其中铝电极以黄色表示。黑色和红色箭头分别表示钛酸钡中的电场方向和极化方向。b，与周期性极化叉指换能器匹配的高阶瑞利模式（上）和塞扎瓦模式（下）的数值模拟。色标表示归一化位移幅值 u，白色箭头表示位移方向。c，在30 V偏压下测得的典型叉指换能器的微波反射谱（S11）。左起三个插图为基频瑞利模式、基频塞扎瓦模式和水平剪切模式的模态分布。d，叉指换能器校准后的导纳（Y11）（蓝色实线）及BVD模型拟合结果（红色虚线）。插图为BVD模型的等效电路图。e，所制叉指换能器的光学显微镜图像。叉指换能器取向角 θ 定义为相对于钛酸钡的 ⟨100⟩ 方向（或由于多畴结构而相对于 ⟨001⟩ 方向，见后续章节）。f，图e中红色虚线框内区域的伪彩色扫描电子显微镜（SEM）图像。
（续前）将电能与机械能形式之间进行转换的效率（见方法部分）。我们从测得的叉指换能器导纳（Y11）中提取 keff2（见方法部分），如图1d所示。电学响应采用集总元件等效电路进行建模，即广泛使用的巴特沃思-范戴克（BVD）模型（见方法部分）[23]。对芯片上相同设计的多只器件进行测量，得到塞扎瓦模式和瑞利模式的最大 keff2 分别为8%和1%（见附录B）。对叉指长度和指对数的详细研究表明，在5.2 GHz频率下可获得最大 keff2 为14.2%。我们还探索了频率扩展（见附录C），在保持6.2%机电耦合系数的同时，最高工作频率达到7.8 GHz。这些结果与基于广泛研究的压电材料（如AlN、AlScN、ZnO和GaN）的最先进声表面波谐振器相比具有竞争力[2, 24, 25]（见附录D）。
压电系数的提取
在本节中，我们通过旋转叉指换能器相对于钛酸钡薄膜的取向，研究了钛酸钡薄膜的力学和压电特性及其晶体学各向异性。关键材料系数通过有限元法（FEM）拟合测得的声表面波响应来提取。此前的研究表明，对于外延a轴取向的钛酸钡薄膜，存在两个正交且能量简并的面内c轴方向，从而产生四种极化方向[21]，如图2a所示。由于畴取向具有四重简并性，叉指换能器的响应呈现90°周期性（见附录H）。从0°旋转至90°的叉指换能器频谱如图2b所示。对于处于四方相的钛酸钡薄膜，其畴结构可以建模为二维镶嵌图案，其中畴取向随机且均匀分布。
图2. 钛酸钡声表面波谐振器的取向依赖性。 a，多畴钛酸钡模型示意图。薄膜的弹性和压电特性被建模为由四种正交极化的单畴组成的镶嵌集合体。叉指换能器相对于钛酸钡晶格从0°旋转至90°（从上至下）。黑色和灰色箭头分别代表各畴的极化方向和叉指换能器的方向。b，不同叉指换能器取向下的 S11 频谱。各曲线为便于观察在纵向上进行了偏移，y轴刻度间距为50 dB。c，瑞利模式（红色）、水平剪切模式（绿色）和塞扎瓦模式（蓝色）的机械频率随角度变化关系。d，相应模式的有效机电耦合系数 keff2 随角度变化关系。测量结果（圆圈）与有限元法模拟（三角形）的对比显示出良好的一致性。图c和d中的实验误差棒为多次测量的标准差，其中大多数小于符号尺寸。阴影区域对应所提取压电系数的95%置信区间。
（续前）值得注意的是，尽管存在四种可能的取向，但一个畴只能被180°翻转[22]。由于畴尺寸（50-100 nm [26]）远小于叉指换能器周期，所测得的响应实际上反映了这些纳米畴集合体均匀化后的有效弹性和压电常数。接下来，我们建立模型，从单个畴的常数出发计算这些有效的宏观常数。
我们首先通过将测得的谐振频率与有限元声学模拟相匹配来提取弹性参数，如图2c所示。我们采用福伊特-罗伊斯-希尔（VRH）近似[27]计算多畴钛酸钡薄膜的有效弹性性质，即对各组成畴变体的刚度和柔顺度张量按其相对占比进行平均。这种计算高效的均匀化方法既与自洽有效介质模型[28]吻合，也与基于有限元法的模拟一致（见附录I）。值得注意的是，使用文献[12]中的块体钛酸钡弹性常数作为每个单畴的输入参数时，模拟得到的瑞利模式和塞扎瓦模式谐振频率与实验结果基本吻合，表明其力学性质与块体钛酸钡相似。然而，我们确实观察到剪切模式频率的测量值与模拟值存在偏差，这源于剪切柔顺系数 s44 的差异。详细的建模表明，这可能由晶格取向无序（如混合c畴和多晶区域）引起（见附录I）[18]。
对于压电系数，简单的体积平均并不直接适用，因为弹-电耦合必须同时满足相邻畴之间的力学和电学边界条件。因此，我们构建了随机镶嵌畴结构的有限元模型，以数值求解耦合的机电方程（见附录）。
图3. 可重构钛酸钡声表面波谐振器。 a，塞扎瓦模式在不同偏置电压（从0 V增至30 V，从上至下）下的 S11 响应。各曲线为便于观察在纵向上进行了偏移，y轴刻度间距为20 dB。插图示意外加电场对齐前后的初始极化状态和最终极化状态。b–d，分别针对本征电容 C0、谐振频率和机电耦合系数 keff2 测得的滞回曲线，其中红色和蓝色分别表示偏置电压递增和递减时的测量结果。误差棒为四次连续滞回环测量的标准差。e，测量声表面波谐振器开关动力学的实验装置示意图。波形发生器（WG）产生的方波（10 kHz）使声表面波谐振在两个状态之间切换。从器件反射的射频信号幅度通过零差检测（使用IQ混频器）进行监测。SG：信号发生器，Circ：射频环行器，LO：本振信号源，OSC：示波器，DUT：待测器件。f，偏置电压从0 V切换至不同峰峰值电压 Vpp 时状态切换的动力学响应（如插图所示）。零差信号经过归一化处理，使 Vpp=10V 的信号幅值介于0与1之间。实线为经验双时间常数指数拟合结果。
（续前）[29]。在这些计算中，我们使用测得的介电常数作为固定输入参数（在30 V偏压下 εeff=144.6，见下一节）。随后将得到的有效压电系数代入有限元声学模型中，以评估机电耦合系数 keff2。单畴压电系数通过拟合塞扎瓦模式测得的随角度变化的 keff2 来提取，该模式的取向响应比瑞利模式强得多，如图2d所示。最佳拟合在95%置信区间（CI）下给出：d31=−47±5pC/N，d33=79±8pC/N，d15=205±31pC/N，其量级与块体钛酸钡[12]相近。使用这些值进行的模拟再现了在45°附近观察到的 keff2 最小值。由此，我们得到多畴钛酸钡薄膜在0°方向上的有效压电常数 d33,eff=53±5pC/N，约比铌酸锂大一个数量级[30]。
铁电开关与可重构性
钛酸钡的铁电性及其相对较低的居里温度还使其声学响应能够进行原位可重构。其低电压、可开关的极化特性——这是钛酸钡区别于其他压电材料（如AlN、AlScN和LiNbO3）的关键——既与经典可开关滤波器[3]相关，如下文所述，也与低温量子电路中的可调元件相关。我们利用这种开关特性来重构声学响应。如图3a所示，在0 V下，相反取向的畴处于初始平衡状态，压电响应可忽略不计。随着外加电压的升高，越来越多的畴被翻转，导致机电耦合逐渐增强。需要注意的是，叠加在谐振峰上的周期性波纹来自硅衬底的体声波模式（见附录A）。
当偏置电压上下扫描时，响应呈现滞回特性，反映了畴翻转相对于电场的滞后[19]。图3b-d通过同一开关过程的三个可观测物理量展示了这种滞回特性：叉指换能器电容 C0、机械谐振频率和机电耦合系数 keff2，各自呈现出典型的铁电蝴蝶曲线[19, 21]。这些曲线给出了薄膜的主要铁电参数。耦合消失时的偏置电压对应矫顽场 Ec≈2.2MV/m，而0 V下仍存在的微弱剩余耦合则源于剩余极化 Pr [31]。30 V下的饱和电容对应有效相对介电常数 εeff=144.6±2.6（附录F），该值即为上述提取压电系数时所使用的数值。调谐幅度本身很大：随着耦合的开启，机电硬化效应使谐振频率偏移约5%（260 MHz），keff2 从接近零摆动至完全极化后的数值，而当偏置电压降低时，由于退极化场的影响[31]，耦合又再次下降。与可开关的AlScN谐振器[32]相比，钛酸钡的矫顽场小两个数量级[15]且 d33 大约大三倍，这使得在保持高 keff2 的同时能够进行原位开关（附录D）。
快速的开关速度对于实时可重构至关重要，尤其是随着开关组件数量的增加[3]。钛酸钡薄膜中的畴翻转始于反向极化畴的成核，随后通过畴壁运动实现长大[21]。开关时间主要受限于成核时间，而后者取决于薄膜的多种性质，包括应变、材料缺陷、晶体取向和畴结构[21]。我们使用图3e所示的装置在时域中测量了调谐动力学过程。声学谐振由方波在两个状态之间切换，通过零差检测反射射频信号幅度来捕捉过渡过程。图3f显示了偏置电压从零切换至不同正向偏压 Vpp 时的动力学响应。注意反射信号幅度随偏置增加而减小。该动力学过程可用双时间常数指数函数很好地描述，其中主快成分（τ1∼60ns）之后跟随较慢的拖尾（τ2∼1μs）（见附录G）。开关时间（定义为10-90%过渡时间）为170 ns。这种快速、低电压调谐能力可支持经典和量子领域中的新功能。在声学领域，时空调制可实现主动稳定和紧凑型无磁环行器[33]。更广泛地说，本文所展示的电压可调非线性正是近期被提出用于低温三波混频和参量放大[34]的那一类，而下一节将表明这种可调性在毫开尔文温区依然保持。
低温表征
为评估薄膜钛酸钡在量子转换中的应用，我们对其在低温下的压电响应进行了表征。叉指换能器在稀释制冷机中冷却至13毫开尔文（mK）（见附录J），测得的 S11 频谱如图4a所示。塞扎瓦模式表现出窄得多的线宽，同时仍保持过耦合状态，其中 γe=21MHz，γi=12MHz。硅衬底中声子-声子散射的减弱还揭示了亚MHz线宽的锐利体声波谐振峰[35]。低温下压电响应的滞回特性如图4b所示。γe 呈现出显著的滞回现象，矫顽场升高至11 MV/m。剩余极化（反映在0 V下 γe 的显著值）也因畴成核和畴壁运动的热激活减弱而增大[21]。
γi 和 γe 的温度依赖性如图4c所示。γe 在273 K处的扭折与已知的四方-正交相变温度[15, 19]一致，而 γe 在209 K附近的增强可能与正交-菱方相变附近压电响应的增大有关[11]。本征损耗 γi 在低温下降低了约六倍，这是因为声子-声子散射[35]和热弹性阻尼[36]等温度相关机制的抑制。进一步研究薄膜钛酸钡在低温下的声学损耗机制对量子应用将具有重要价值。
由于直接提取导纳和 keff2 需要复杂的校准装置，与我们当前的低温实验装置不兼容（附录J），我们通过 γe∝deff2/(seffεeff) 的比例关系来估算低温下的压电系数[23]。其中 γe 可直接测量，柔顺系数 seff 基本不变（谐振频率偏移小于3%），因此推断出的系数仅弱依赖于介电常数，即 deff∝γeεeff。我们采用文献[15]中报道的钛酸钡在4 K下介电常数降低（约1.7倍）的数据，该降低在较低偏置下更为显著。鉴于我们使用的极化场更高，
图4. 钛酸钡压电响应的温度依赖性。 a，在13 mK下测得的 S11 频谱（蓝色实线）及用于提取外部耦合速率 γe 的拟合曲线（红色虚线）。插图示出其中一个体声波模式（红色箭头），其拟合线宽为80 kHz。b，在13 mK下 γe 随偏置电压（最高至50 V）的滞回曲线，显示出增大的矫顽场和剩余极化。c，外部耦合速率（γe，蓝色）和本征耦合速率（γi，红色）从300 K至0.7 K随温度变化的函数关系。彩色阴影带标记钛酸钡相应的相变温度。图b和c中的误差棒为非线性拟合的95%置信区间。图a和c中的偏置电压为30 V。
（续前）很可能高估了实际降低幅度（附录J）。在这一保守输入下，测得的 γe 下降约4.6倍，得到毫开尔文温区下的 d33,eff 约为19 pC/N；若假设介电常数不变，则该值约为25 pC/N。因此我们报告约19 pC/N作为保守估计值，这占室温值的大部分，并且与同种材料中测得的电光系数在低温下的下降趋势一致[15]。更直接地说，测得的较大 γe 表明，机电耦合本身——而不仅仅是推断出的系数——在毫开尔文温度下仍然很强，而这对于与量子电路的压电耦合而言才是最终关键所在。
讨论与展望
综上所述，我们使用简单的叉指换能器声表面波平台，表征了薄膜钛酸钡从室温到毫开尔文温区的力学和压电特性。在室温下，谐振器在5.2 GHz频率下实现了14.2%的机电耦合系数 keff2，工作频率最高达7.8 GHz，并具有适用于可开关射频滤波器的低电压可重构性。提取的压电系数与块体钛酸钡相当，并且持续保持至毫开尔文温度，仅下降约二至三倍，使该材料在量子声学领域仍具前景。这些结果将薄膜钛酸钡定位为一个覆盖经典射频和低温量子硬件全温度范围的压电平台。
为将钛酸钡与其他压电材料进行对比，我们采用品质因数 K2=d2/(sεr) 而非单一系数进行比较，因为 K2 决定了可实现的机电耦合强度，并且包含了这些材料之间巨大的介电常数差异（表I）[23]。我们以 d33,eff 为基础进行比较，因为我们的低温测量直接决定了其对应的耦合[39]。我们报告的是与实际器件相关的有效多畴值，单畴值和块体值列于表I中供参考。在仅考虑 d33 介导的耦合时，适中的压电响应与相对较低的介电常数之间的相互作用，使得钛酸钡即使与具有更大 d33 的材料（如钛酸锶[11, 38]）相比也颇具竞争力。
表I. 铌酸锂（LiNbO₃）、钛酸锶（STO）和钛酸钡（BTO）的品质因数 K2 比较。 对于钛酸锶和钛酸钡薄膜（均为多畴结构），使用其有效值 d33,eff 和 s33,eff 进行计算。
（续前）多个方向可进一步推动该平台的发展。实现更强耦合的最直接途径是采用单畴钛酸钡，近期已通过晶格工程[40]或从块体剥离[41]得以实现，这将使响应趋向于表I中所列的单畴数值。机械损耗对于量子应用同样重要，在我们的器件中，损耗主要源于向衬底的辐射而非本征材料损耗。可通过使用高声学衬底（如金刚石或SiC）[42]来降低损耗，或在悬浮谐振器中消除损耗[4, 30]，后者还可直接在毫开尔文温度下测量钛酸钡的本征机械损耗[43]。
除了改进现有器件外，同种材料还可实现更多模式和应用。替代的极化方案和晶向切割，例如c畴薄膜，将可获得具有更高机械品质因数的基频声表面波模式、利用更大 d15 的剪切模式[12, 22]，以及用于毫米波操作的体声波模式[44]。集成器件，包括用于纳机电系统[45]和微波-光转换[46]的纳米尺度换能器，以及利用钛酸钡大弹光响应的低损耗声光器件[12, 30]，都需要在高品质钛酸钡刻蚀工艺方面取得进一步进展，近期氩离子铣削的结果令人鼓舞[47]。随着这些进展，薄膜钛酸钡有望成为一个共享平台，用于可重构射频、声光及低温量子器件。
方法
BVD模型 巴特沃思-范戴克（BVD）模型已被广泛用于压电谐振器电学响应的建模[23]。如图1d所示，该模型由一个RLC谐振支路（用于模拟机械谐振）与一个电容 C0（模拟叉指换能器电极的本征电容）并联组成。多个机械谐振模式可通过为每个谐振添加额外的RLC支路来建模。BVD模型拟合与实验导纳之间可获得良好的匹配（见图1d）。由于 C0 的存在，每个机械谐振对应的导纳呈现谐振峰（fs）和反谐振峰（fp）。keff2 通常由 fs 和 fp 之间的差值计算得到，该差值也与动态电容 Cm 与 C0 之比相关[48]：
因此可以看出，fs 与 fp 之间的间隔越大、Cm 越大，则 keff2 越高，这对于设计更高带宽的声学滤波器至关重要[3]。
附录A：
来自硅衬底的体声波模式如正文所述，声表面波的声学损耗主要源于向体衬底的辐射。在本节中，我们通过数值模拟验证了体声波模式的存在，模拟结果与实验吻合良好。如图S1a所示，衬底的上下表面自然形成一个法布里-珀罗腔，支持将辐射进入衬底的声波束缚于其中的谐振模式。这些声学模式通常被称为高次谐波体声波谐振（HBAR）[23, 30, 49]。在正文的模拟中，硅衬底被假设为无限厚，并在硅底部采用低反射边界条件，因此未观察到HBAR。当在模拟中采用与实际样品相同的硅衬底厚度（280 µm）时，体声波模式在图S1b中清晰可见。该模拟在塞扎瓦模式的谐振频率下进行。计算得到的导纳频谱如图S1c所示，在塞扎瓦模式的谐振峰和反谐振峰之上，存在一系列周期约为16 MHz的HBAR。这与在室温（图S1d）和低温（图S1e）的 S11 频谱中观察到的自由光谱范围（FSR ≈ 15 MHz）非常吻合。可以看出，随着低温下硅衬底中声子耗散的减少，HBAR在13 mK时变得尤为显著，尤其是靠近塞扎瓦模式的那些。这对塞扎瓦模式的高品质洛伦兹拟合带来了困难。这些HBAR模式可通过采用具有更高声速的衬底（如金刚石和SiC）来抑制，从而增大钛酸钡与衬底之间的声学对比度[42]。图S1. 来自硅衬底的体声波模式。 a，叉指换能器一个周期的横截面示意图。体声波（紫色虚线）在由衬底上下表面形成的法布里-珀罗腔中谐振。b，塞扎瓦模式模态分布的数值模拟结果。色标为位移幅值的对数标度，衬底中的体声波清晰可见。注意图中仅显示衬底顶部数微米范围内的放大区域。c，塞扎瓦模式的模拟导纳 Y11，可见体声波谐振以16 MHz为周期出现。d，塞扎瓦模式在室温下测得的 S11 频谱。e，塞扎瓦模式在低温下测得的 S11 频谱。体声波模式的自由光谱范围（FSR）为15 MHz。
附录B：器件与芯片差异
钛酸钡薄膜的空间不均匀性，如表面织构和晶体无序，可能会改变局域的畴微观结构，从而影响叉指换能器的机电响应。为评估叉指换能器响应的可重复性以及所测 keff2 的可靠性，我们对标称设计相同（0°方向）的器件的 S11 响应进行了表征。
图S2. 不同器件和芯片间的性能差异。 a，在两张芯片上不同位置处、具有相同设计的多个器件的 keff2 测量结果。在两张芯片上，器件可分为两组具有不同机械响应的类型，如图b所示。一组器件由于剪切模式与塞扎瓦模式频率接近而表现出强耦合（称为“2谐振”型），另一组则表现出低得多的剪切模式频率（称为“1谐振”型）。每个数据点代表一个器件。误差棒为三次重复测量的标准差。c，芯片2上“1谐振”型器件的表面扫描电子显微镜图像。d，芯片2上“2谐振”型器件的表面扫描电子显微镜图像，两者表面织构呈现明显对比。
（续前）方向、40对叉指、30 µm孔径）的 S11 响应进行了表征。在每个芯片内部，观察到两种类型的机械响应，如图S2b所示。一组器件的响应与正文中展示的器件类似，剪切模式和塞扎瓦模式彼此分离且相距较远。我们还观察到另一组器件中剪切模式和塞扎瓦模式呈现两个靠近的谐振峰。剪切模式与塞扎瓦模式的杂化增强了剪切模式的机电耦合。图S2a汇总了这两种类型器件在两张芯片上塞扎瓦模式和瑞利模式的 keff2 值。可以看出，塞扎瓦模式的 keff2 在6%至8%之间变化。在正文中，我们主要展示剪切模式和塞扎瓦模式清晰分离的器件，以避免模式杂化带来的识别歧义。
如图S2c-d所示，扫描电子显微镜图像显示这两类器件的表面织构存在明显差异，一种表面光滑，而另一种表面呈现密集的粗糙结构[18]。钛酸钡薄膜晶体结构的这种不均匀性可能解释了为何不同器件表现出截然不同的机械谐振。进一步的数值模拟表明，有效剪切柔顺系数 s44 的变化可以解释剪切频率的变化，而该变化被发现与c畴的存在有关（见补充说明I）。
图S3. 钛酸钡声表面波器件随叉指换能器周期的频率扩展。 a，不同叉指节距（如图中所标注）的叉指换能器的 S11 频谱。各曲线为便于观察在纵向上进行了偏移，y轴刻度间距为50 dB。所有器件的偏置电压均为30 V。b，塞扎瓦模式、瑞利模式和剪切模式的有效机电耦合系数 keff2 随声波波长的变化关系。误差棒为三次重复测量的标准差。c，钛酸钡声表面波器件在不同波长下的谐振频率。d，不同波长下的声表面波相速度。可观察到塞扎瓦模式与剪切模式之间的模式反交叉现象。
附录C：叉指换能器周期、指对数及孔径长度的依赖性
1. 叉指换能器周期与频率扩展
在保持较高机电耦合的同时实现高频工作，对于下一代无线通信系统中的大带宽声学滤波器至关重要[3]。本文通过表征不同周期的叉指换能器来研究钛酸钡声表面波的频率扩展特性。图S3a展示了叉指周期从1 µm到2.4 µm（对应波长从0.5 µm到1.2 µm）的 S11 频谱。声学频率随波长减小而增加，如图S3c中塞扎瓦、瑞利和剪切模式所示。值得注意的是，在波长约为1 µm附近，塞扎瓦模式和剪切模式发生杂化，出现模式反交叉现象。在图S3d中三种模式的相速度图中，模式反交叉更为清晰可见。塞扎瓦模式和瑞利模式的相速度随波长增加而增大，因为在较长波长下，更大尺度的声学模式中硅衬底的参与度增加。
各波长下的 keff2 如图S3b所示。每个器件测量三次，误差棒包含射频探针接触变化和BVD模型非线性拟合带来的误差。由于模式杂化，塞扎瓦模式的 keff2 出现下降，而剪切模式则有所增强。该行为已通过有限元模拟验证（此处未展示）。在正文中，我们选择研究塞扎瓦模式和剪切模式之间分离较大的器件，以避免模式杂化。在0.5 µm波长下，观测到频率为7.8 GHz的高频塞扎瓦模式，其 keff2 为 6.2±0.2%，表现良好。同时观察到瑞利模式的 keff2 在较短波长下增加，这是因为其与钛酸钡薄膜的模式重叠更好。进一步减小波长可实现更高的瑞利模式 keff2 和频率，但最终受限于光刻分辨率。
图S4. 机电耦合对叉指换能器指对数和孔径长度的依赖性。 a，在孔径保持为30 µm时，不同指对数的叉指换能器测得的 keff2。b，在指对数为40对时，不同孔径长度的叉指换能器测得的 keff2。误差棒为三次重复测量的标准差。c，孔径为90 µm、指对数为40对的叉指换能器的实验 S11 频谱。d，该器件的实验导纳 Y11 及BVD模型拟合结果（红色虚线）。在5.16 GHz频率下，塞扎瓦模式的 keff2 为 14.2±1.1%。
2. 叉指换能器指对数与孔径长度
研究了不同指对数和孔径长度的叉指换能器性能，以考察其对机电耦合的影响。图S4a展示了 keff2 对叉指对数的依赖关系。可以看出，keff2 随指对数增加而增大，并在大量指对数时趋于饱和，约为10%。如图S4b所示，keff2 随叉指孔径增大而增大。70 µm处的凹陷是由于塞扎瓦模式与一个杂散模式耦合所致，在其他器件中该现象不太显著。孔径为90 µm的叉指换能器展示了最大 keff2 约为14%。该器件的实验 S11 和 Y11 响应分别如图S4c和d所示。塞扎瓦模式实现了40 dB的临界耦合深度（S11）。
还需注意的是，随着指对数和孔径的增加，叉指换能器的本征电容 C0 增大，这抬高了 Y11 响应的背景，使谐振峰变得不那么尖锐和清晰（对比图S4d与正文图1d）。这给高保真度的BVD拟合带来了挑战。因此，在正文中我们仍使用40 µm孔径。
附录D：与最先进声学谐振器的比较
将我们的钛酸钡声表面波谐振器与其他材料制成的声学谐振器进行性能比较，如图S5所示。最高的 keff2 由铌酸锂（LN）制成的声表面波谐振器实现，频率高达6 GHz [2, 59]。钪掺杂氮化铝（AlScN）近年来因其压电系数相比传统AlN提高了约5倍而备受关注[51]。因此，采用薄膜体声波谐振器（FBAR）已展示了较高的 keff2 [50]。尽管AlScN具有铁电性，但AlScN谐振器的开关需要80至350 V的高电压[32, 50]，这对芯片级集成及与现代射频前端的兼容性构成了挑战。钛酸钡的矫顽场小两个数量级，使得在保持高于类似频率下AlScN声表面波器件的 keff2 的同时，能够展示低电压（≤15 V）可开关的钛酸钡声表面波谐振器。
图S5. 与不同材料制成的声学谐振器的比较。 不同颜色代表不同材料，如图中所标注。方形符号表示不可开关谐振器，圆形符号表示可开关谐振器。本研究的工作以红色星号表示。数据取自参考文献[2–4, 17, 24, 25, 32, 42, 50–58]。
（续前）需注意的是，开关电压取决于电极之间的间距。对于声表面波器件，间距受光刻分辨率限制，约为数百纳米。图S3中展示了最小500 nm的间距，对应的开关电压小于10 V。未来，采用铁电薄膜垂直夹置于电极之间的体声波谐振器结构，可大幅降低开关电压，因为电极间距由薄膜厚度决定，而薄膜厚度可通过沉积工艺精确控制。
与其他低压可开关谐振器（如钛酸钡和钛酸锶钡（BST）谐振器[3, 4, 17]）相比，我们的工作展示了更高的 keff2 和频率，有望满足未来可重构射频系统的需求（图S5中的红色星号）。此外，本工作中的声表面波设计旨在便于材料表征。通过优化和更复杂的器件设计与制造（例如悬浮型兰姆波谐振器[4]），在不久的将来有望实现更高 keff2 和更高机械品质因数的钛酸钡谐振器。
图S6. 叉指换能器的漏电流。 a，室温下测得的漏电流。b，低温下测得的漏电流。误差棒为三次重复测量的标准差。
附录E：室温及低温下的漏电流
叉指换能器在不同偏置电压下的静态漏电流如图S6所示。在室温下，漏电
流在30 V处开始呈指数增长。此前报道的MBE生长钛酸钡薄膜的漏电流要低一个数量级[15]。可识别出几个导致较高漏电流的潜在原因。一个漏电路径可能来自硅衬底在室温下的有限电阻率，特别是当偏置电场接近硅的击穿场强（约30-50 MV/m）时[60]。钛酸钡薄膜中的微结构和缺陷也可能导致更高的漏电流。例如，氧空位在溅射制备的钛酸钡薄膜中普遍存在[61]。晶界和畴壁也可能积累自由电荷，形成导电通路[62]。需要进一步研究射频溅射钛酸钡薄膜的漏电流，以评估其在高偏置场下的性能。
在低温下，漏电流被抑制了5个数量级，降至皮安（pA）水平（见图S6b），这可能归因于硅中自由载流子的冻结和氧空位迁移率的降低。这使得可以施加更高的偏置电压（最高达50 V），该上限受限于低温实验装置所允许的最大电压。需注意，所测得的皮安级漏电流处于测量设备（如同轴电缆的漏电）的噪声本底水平。因此，该测量值给出了钛酸钡薄膜漏电流的上限。此前的研究表明，钛酸钡在4 K下的漏电流低于皮安级[15]。
附录F：面内钛酸钡介电常数的校准
图S7. 叉指换能器电容测量与拟合。 a，实验测得的不同取向下叉指换能器的本征电容 C0。误差棒为导纳线性拟合的95%置信区间。电容测量在25 V偏置下进行。b，通过改变面内相对介电常数对 C0 进行的数值模拟。
附录F：面内钛酸钡介电常数的校准
为了通过数值模型更好地模拟声表面波响应，对钛酸钡相对介电常数 εr 的准确估计对于电场模拟至关重要。为实验测量介电常数，通过校准后的导纳获得叉指换能器的电容 C0，然后将其与单对叉指换能器电极的静电模型模拟得到的 C0 进行比较[13, 63]。虽然 C0 可以从BVD模型中提取，但我们选择在远离任何机械谐振（约1 GHz）的频率下，用 Y=jωC0 对导纳进行线性拟合，这通常能给出更好的置信区间。实验中，除叉指换能器电极外，还存在射频探针接触焊盘的寄生电容。为去除该影响，我们制备了一系列具有不同指对数的叉指换能器。将 C0 对指对数进行线性拟合，得到单位指对和单位孔径长度的归一化 C0，该值可直接用于模拟。
对 C0 的取向依赖性进行了研究，如图S7a所示。由于 C0 与取向之间没有明显的相关性，我们取平均值 C0=1.16±0.025fF/对/µm。图S7b展示了模拟的 C0 随面内 εr 的变化关系，由此可插值得到实验钛酸钡的 εr=144.6±2.6。如正文图2b所示，介电常数与极化状态相关，而极化状态依赖于偏置电压。上述测量在25 V下进行。其他偏置下的介电常数可根据 C0 的滞回曲线进行标定。需注意，提取的 εr 与MBE生长钛酸钡薄膜在等效18 V偏压下获得的198 [15] 相当。
由于电场主要位于面内，电学和压电响应由面内介电常数主导。由于薄膜主要为a畴取向，面外介电常数为钛酸钡的a轴介电常数 εr,a。我们采用文献中的数值，约为2000 [12, 15, 63]。
附录G：畴翻转动力学
1. 测量装置
本实验的测量装置如正文图3e所示。由信号发生器（Windfreak SynthUSB3，SG）产生频率为塞扎瓦模式谐振频率5.618 GHz、功率为10 dBm的微波信号。该信号通过一个功分器（Mini-Circuits ZX10R-14-S+）。功分器的第一路输出连接至环行器（DiTom D3C2080），第二路输出连接至IQ混频器（Marki Microwave MMIQ-0520L）的本振（LO）端口。为实现叉指换能器响应的开关，我们使用波形发生器（Keysight 33511B，WG）产生的10 kHz方波，其峰峰值电压（Vpp）可调。该极化信号通过偏置三通（Quantum microwave QMC-CRYODPLX-S0218NM）与射频信号叠加，叠加后的输出送至待测器件（DUT）。反射的微波信号被路由至IQ混频器的射频端口，反射信号的时域变化通过连接至IQ混频器同相（I）端口的示波器（Tektronix TDS 2014B）进行监测。
为验证所测开关动力学不受装置带宽限制，我们将波形发生器输出经偏置三通后的信号直接用示波器测量，得到的时间常数为4 ns。另一方面，中频（IF）端口的带宽为0至6 GHz。此外，所测塞扎瓦谐振的本征线宽约为60 MHz，对应腔寿命为17 ns。可以看出，测量系统的响应速度主要受限于声表面波谐振的寿命，该寿命比所测开关动力学的时间常数短数倍。因此，开关时间主要由极化反转所需的时间决定，所获得的时域响应反映了畴翻转的动力学过程。
2. 动力学建模
铁电畴翻转在过去几十年中已被广泛研究，普遍认为翻转涉及畴成核和长大过程[21, 64]。基于不同的成核和畴长大过程图像，已有多种模型被提出用于描述翻转动力学。一个经典模型是所谓的Kolmogorov-Avrami-Ishibashi（KAI）模型，它将极化变化描述为[65]：
其中 t0 为特征开关时间，n 为畴壁运动的有效维度，对于薄膜而言 n=2。该模型假设单一成核及其长大过程来完成整个薄膜的翻转[21, 65]。然而，研究发现该模型仅能描述初始快速开关阶段，而无法描述某些铁电薄膜开关曲线的慢拖尾部分[66]。该图像不适用于多畴钛酸钡薄膜，因为每个畴可以有自己的成核过程和不同的成核时间。另一种模型被提出以考虑成核时间的统计分布，假设翻转受限于成核时间而畴壁运动时间可忽略不计（因为每个畴尺寸很小）。这通常被称为成核限制开关（NLS）模型[67]。在该模型中，开关过程是一组独立区域的响应，其成核时间的对数 logt0 服从洛伦兹分布，具有平均值 logtmean 和宽度 w [65, 67]。极化动力学可由以下公式描述[21, 65]：
研究发现，实验获得的开关动力学趋势可以用上述公式进行定性描述，但存在轻微偏差。我们将其归因于实验中测量的是声表面波谐振深度的变化，而该变化与薄膜极化之间存在间接且非线性的关系。需要进一步的实验探索和建模研究，以更好地理解钛酸钡薄膜中的畴翻转过程。
为提取所测状态开关过程的时间常数，我们发现结果可以用双时间常数指数拟合进行经验性描述。
其中 S 表示零差信号，τ1 和 τ2 分别为快过程和慢过程的时间常数。在不同开关电压下均可获得良好的拟合，如正文图3f所示。
较慢的开关拖尾（τ2）可归因于较慢的畴壁运动，这与晶界、位错、氧空位以及表面电荷和束缚电荷有关，需要在未来进行详细研究和建模[68]。
图S8. 去极化动力学及电压依赖性。 a，从不同 Vpp 切换回0 V时去极化过程的时域动力学（见c图插图）。实线表示使用双时间常数指数模型对实验数据进行的经验拟合。b和c，分别提取的极化过程和去极化过程的快时间常数 τ1 和慢时间常数 τ2。误差棒为拟合的95%置信区间。低电压下置信区间较大是由于示波器的电压分辨率较低。b图和c图中的插图分别示意了声表面波谐振的变化（上方）以及施加的开关信号（下方），对应于方波的上升沿和下降沿。
3. 去极化动力学
在正文中，我们展示了从0 V切换到正向偏压时的动力学过程，这对应于外部电场下的畴极化过程。由于实验中施加的是方波信号，当偏置切换回0 V时的瞬态响应也被记录下来。测量信号的变化与退极化场引发的去极化过程有关[31]。不同 Vpp 下的结果如图S8a所示。观察到与极化过程类似的趋势，同样采用双时间常数指数进行拟合。
4. 开关时间对电压的依赖性
此前的研究表明，开关时间随电场减小而增加[21, 65]，符合著名的梅尔兹定律（Merz's law）[69]，该经验关系指出开关时间与激活场和施加电场之比呈指数依赖关系。其中激活场是材料相关的参数，代表畴翻转的能量势垒。图S8b绘制了在较宽外加电压范围内极化过程拟合得到的 τ1 和 τ2。可以看出，当电压降至2.5 V时，τ1 几乎保持不变，并在更低电压下开始增加。τ1 在1 V以上保持在亚100纳秒水平。另一方面，慢过程 τ2 在微秒量级。整体开关过程由快过程主导，因为拟合中快过程的相对幅度（A1）比慢过程（A2）大一个数量级。去极化过程的时间常数对电压的依赖性如图S8c所示。在所施加的电压范围内，τ1 和 τ2 均保持恒定，平均值分别为55 ns和0.7 µs。
图S9. 旋转180°的叉指换能器的声学谐振。 芯片1上器件瑞利模式（红色）、剪切模式（绿色）和塞扎瓦模式（蓝色）的机械频率随角度的变化关系。可观察到90°周期性，与多畴钛酸钡图像一致。
附录H：叉指换能器180°完整旋转
多畴模型的一个关键特征是90°周期性，这是由畴分布的四重对称性所致，如图S10所示。通过对完整180°旋转范围内的叉指换能器频率响应进行测量验证了这一点，如图S9所示。三种模式均可观察到90°的声学谐振周期性，这与多畴钛酸钡图像一致。这也验证了90°和270°畴与0°和180°畴具有相等占比的存在。此外，这与单晶假设一致，因为多晶材料将在各取向上给出均匀响应。
附录I：多畴力学与压电建模
多畴钛酸钡微结构模型被构建为单畴元件的集合体，每个单畴具有相同的本征弹性、介电和压电材料属性。它们之间的唯一区别在于面内极化方向，相对于实验室坐标系可为0°、90°、180°或270°。自发极化方向决定了材料矩阵如何旋转。在本补充材料中，我们将这些单个畴称为0°/90°/180°/270°畴。通过将这些单个畴随机组装成镶嵌图案，我们捕捉到了钛酸钡薄膜固有的微观不均匀性[13]。
为确定多畴薄膜的宏观有效响应，我们首先以Voigt标记法表示柔顺系数、介电常数和压电属性，从而将这些张量简化为对应的矩阵形式。我们采用两种均匀化方法来提取材料系数。首先，Voigt-Reuss-Hill（VRH）[27]平均提供了柔顺矩阵的经验估计。其次，在随机镶嵌分布上对耦合压电方程进行完整的有限元法（FEM）模拟，从而实现压电矩阵的数值提取。通过对多次随机镶嵌迭代进行系综平均，可获得考虑微观结构随机变化的统计有效材料常数。
1. 柔顺系数和压电矩阵的旋转
考虑原始坐标系 x1,x2,x3 和旋转后的坐标系 x1′,x2′,x3′。新轴相对于原始框架的取向可用方向余弦来描述[70, 71]。
在新的坐标系中，柔顺矩阵 s′ 可由原始坐标系中的柔顺矩阵 s 与变换矩阵 A−t 和 A−1 的矩阵乘积表示。
2. 将材料系数投影到实验室坐标系和器件坐标系
对于四方相钛酸钡，晶体学的1轴和2轴具有对称简并性，而3轴（c轴）与自发极化方向重合。在我们的多畴构建中，我们将所有畴的晶体学1轴固定为面外方向。其余的2轴和3轴则根据四种可能的面内极化变体（0°、90°、180°、270°）在薄膜平面内旋转。每个畴的原始坐标轴如图S10a所示，颜色编码与畴的标注一致。我们将实验室坐标系（黑色）定义为：1轴面外，3轴平行于0°畴的极化方向。所有弹性和压电材料的均匀化计算（基于VRH和FEM）均在该实验室坐标系中进行。在计算有效机电耦合系数 keff2 和机械谐振频率之前，均匀化后的材料矩阵需经过第二次坐标变换，从实验室坐标系转换到由叉指换能器取向定义的器件坐标系（灰色）。
3. 材料均匀化方法
a. 畴占比 取决于叉指换能器的取向，沿每个畴c轴方向投影的有效电场会发生变化，从而导致角度依赖的畴占比。我们假设0°/90°/180°/270°畴的占比分别为 P0∘、P90∘、P180∘、P270∘，且 P0∘+P90∘+P180∘+P270∘=1。在极化之前，我们假设四个畴的占比均匀分布，即 P0∘=P180∘=P90∘=P270∘=0.25。由于电学极化只能使极化翻转180°，我们进一步假设 P0∘+P180∘=P90∘+P270∘=0.5。在0°方向下，假设器件沿0°方向完全极化，即 P0∘=0.5，P180∘=0。参照文献[13]，P0∘/P90∘/P180∘/P270∘ 可通过器件取向的正弦函数进行估计，如图S10c所示。
b. 弹性性质的VRH均匀化 在对每个钛酸钡单畴的刚度和柔顺度张量进行坐标变换至实验室坐标系后，我们使用Voigt-Reuss-Hill（VRH）方法对多畴集合体的弹性响应进行均匀化。Voigt和Reuss分别代表两种极端情况，分别基于等应变和等应力假设。它们给出了非均匀介质刚度的上限和下限：Voigt界限对应刚度矩阵的体积平均（等应变假设），而Reuss界限对应柔顺度矩阵的体积平均（等应力假设）。VRH近似取这两种极端情况的算术平均值作为有效刚度，为多畴薄膜的弹性性质提供了经验上合理的估计。
图S10. 多畴钛酸钡微结构模型。 a，本工作中使用的坐标定义示意图。单畴坐标系 x1,x2,x3 依各畴的极化方向而定，颜色编码与右侧示意图中的畴相对应。四个畴的材料均匀化在实验室坐标系（黑色）x1′,x2′,x3′ 中进行。最后，在钛酸钡声表面波谐振器的数值建模中，坐标从实验室坐标系变换至旋转后的器件坐标系（灰色）x1′′,x2′′,x3′′。b，用于评估有效压电系数的有限元模型。每个彩色单元代表一个畴，各畴的位置在每次模拟中随机生成。c，模拟中采用的畴占比随器件取向的变化关系。
c. 压电系数的FEM均匀化 有效压电系数的均匀化通过有限元模拟进行。我们使用由10×10单畴元件镶嵌集合体构成的单胞来模拟薄膜响应，如图S10b所示。这一选择是为了反映相对物理尺度：面内钛酸钡畴约为100 nm，而叉指换能器指节距约为1 µm，因此该单胞代表一个波长范围内的压电相互作用。为探测有效压电系数 dij,eff，我们向单胞独立施加6种应力载荷，每种载荷仅激活一个Voigt应力分量（T1=1Pa、T2=1Pa、T3=1Pa、T4=1Pa、T5=1Pa、T6=1Pa），同时保持所有其他应力为零。所有载荷情况下均施加短路电边界条件（单胞相对面之间零电势差）。然后通过应变-电荷关系计算有效压电系数 dij,eff=⟨TjDi⟩。
选择上述10×10随机畴分布的单胞是为了兼顾模拟时间。实际上，叉指换能器的尺寸要大得多，可能包含数量级更多的畴。其最终结果是图S11. 有限元模拟与VRH计算得到的均匀化弹性常数比较。
图S11. 有限元模拟与VRH计算得到的均匀化弹性常数比较。
（续前）最终会得到收敛且稳定的压电响应，器件之间的差异很小。为考虑这一点并消除模拟中随机化带来的噪声，我们对 N=10 次独立的蒙特卡罗微观结构实现进行了平均，每次实现具有随机的畴排列但具有相同的畴占比。选择 N=10 是为了兼顾均匀化的收敛性和计算效率。与更大迭代次数（N=150）相比，N=10 时 d33,eff 的数值散布大约在收敛值的2.5%以内，这表明 N=10 能够为我们的均匀化方案提供稳定的解并节省计算资源。由随机化引起的这种变化将在后续计算拟合置信区间时予以考虑。
该方法与代表性体积元（RVE）的概念[72]一致——即能够再现非均匀介质宏观行为的最小元件集合。RVE的定义并非纯粹取决于元件数量，而是要求有效性质以可接受的方差收敛。在此框架下，通过对足够数量的独立实例进行平均，较小的单胞也可以代表RVE。因此，我们使用 N=10 次蒙特卡罗迭代得到的均匀化材料系数能够代表器件尺度的行为。
需注意，上述FEM镶嵌模型也可通过类似步骤用于计算有效弹性系数，如图S11所示。有趣的是，解析VRH方法与FEM模拟之间具有良好的一致性，两种方法相互验证。然而，为获得更好的计算效率，我们选择了解析方法。
d. 叉指换能器器件的 keff2 模拟 取VRH和FEM分析得到的均匀化弹性和压电系数，我们在叉指换能器的FEM模型中进行频域分析，该模型考虑一个叉指电极对并施加周期性边界条件。keff2 通过对模拟的 Y11 响应进行BVD模型拟合来提取。
4. 材料系数提取与置信区间
材料性质的提取采用两阶段分析。在第一阶段，钛酸钡的弹性性质通过将模拟的机械谐振频率与实验值相匹配来进行拟合。如下一节所述，剪切柔顺系数 s44 是唯一的拟合参数，其他参数取自文献[12]。对于每个叉指换能器取向，我们使用VRH方法计算有效弹性矩阵。通过匹配剪切模式模拟与实验谐振频率的角度趋势来拟合 s44，如图S12a所示。我们提取得到 s44=12.18×10−12±0.33×10−12[1/Pa]，置信区间为95%。该拟合弹性常数连同文献[12, 73]中其他柔顺项一起，作为后续分析的固定输入。
在第二阶段，将柔顺矩阵（来自第一阶段）、介电矩阵（来自电容测量）以及作为拟合参数的压电系数（d31、d33 和 d15）输入到二维镶嵌FEM模拟中。将得到的有效压电矩阵与VRH有效弹性矩阵一起输入叉指换能器FEM模型，以模拟塞扎瓦模式的 keff2。通过拟合塞扎瓦模式机电耦合系数的角度依赖性，我们提取得到压电系数及其95%置信区间（CI）为：
d31=−47.54±0.85pC/N,d33=78.89±1.99pC/N,d15=204.91±4.10pC/N.
为全面捕捉模型的不确定性，还分析了两个额外的噪声来源。首先，应考虑蒙特卡罗微观结构不同独立实例之间差异引起的误差。为量化该影响，我们生成了大量独立的镶嵌构型，并检验所得 keff2 的统计散布。在所有角度下，这对应于提取的压电系数最大约3%的变化。我们将其作为蒙特卡罗变化引起的额外标准误差项，纳入最终报告的置信区间中。此外，s44 估计的不确定性通过Murphy-Topel两阶段估计器传播到 d31、d33 和 d15 中。
图S12. 谐振频率对柔顺系数 s44 和 c 畴占比的依赖性。 a，实验（数据点）与不同 s44 下模拟结果的比较，涵盖瑞利模式（红色）、剪切模式（绿色）和塞扎瓦模式（蓝色）。s44 以文献[12, 73]中的值为基准进行归一化。s44 的减小（从浅色到深色）使三种模式的频率单调增加，并与塞扎瓦模式和剪切模式的实验趋势相匹配。b，在 s44 取自文献[12]的条件下，不同 c 畴占比下的模拟谐振频率，并与使用拟合 s44 值得到的结果（数据点）进行比较。随着 c 畴占比的增加，剪切模式的频率升高并趋近于 s44 拟合得到的结果。
（续前）[74, 75]。最终，我们报告的压电系数总95%置信区间为：
d31=−47.54±4.83pC/N,d33=78.89±7.82pC/N,d15=204.91±31.55pC/N.
5. 关于 s44 调谐的合理性说明
如正文所示，与瑞利模式和塞扎瓦模式不同，剪切模式的频率在叉指换能器取向接近45°时降低，这主要是由 s44,eff 的角度依赖性引起的。从图S11中各柔顺分量的角度变化趋势可以看出，只有 s44,eff 在45°处达到最大值。由于声速与 1/s 成正比，这导致了剪切模式在45°处谐振频率的降低。对均匀化后的 s44 进一步解析分析表明，其主要由单畴的 s44 决定。
为确认仅拟合 s44 项是否足以同时拟合瑞利、塞扎瓦和剪切模式，我们在保持其他柔顺系数不变的情况下，比较了FEM模拟的频率响应随 s44 的变化，如图S12所示。采用文献[12]中报告的原始柔顺系数时，瑞利模式和塞扎瓦模式与实验吻合良好，而剪切模式频率远低于实验值（见颜色最浅的曲线）。这表明主要是 s44 偏离了文献[12]的数值。随着 s44 的减小，我们观察到塞扎瓦模式在45°和剪切模式在0°处的频率分别增加，两者均与实验趋势一致。因此，我们在数值建模中选择拟合 s44。通过将 s44 相对于文献[12]的数值缩放0.743倍，可获得与实验的良好匹配。
虽然需要进一步研究来解释 s44 的偏差，但一些初步分析表明其与钛酸钡薄膜的微观结构有关。从先前对射频溅射钛酸钡薄膜的研究中注意到，在a畴钛酸钡薄膜中存在相当比例的c畴以及近表面的多晶区域[18]。这些缺陷在我们的建模中未被考虑，因为我们假设的是纯a畴单晶。c畴对有效弹性的影响可通过类似方法使用VRH分析。在此，我们采用文献[12]的原始柔顺系数，同时改变c畴的占比。图S12b比较了不同c畴占比下的谐振频率与通过拟合 s44 得到的结果。随着c畴占比增加，剪切模式的频率升高并趋近于 s44 拟合值。当c畴占总占比的35%时，可获得良好匹配。这与300 nm射频溅射a轴钛酸钡薄膜的畴分析[18]一致，其中只有51%的区域为纯a畴。我们强调，实际混合a/c畴薄膜的微观结构是复杂的，包括畴倾斜/孪晶和局域织构。这些特征无法被我们简化的二维蒙特卡罗镶嵌模型完全捕捉，这为未来的研究留下了空间，以纳入更真实的形态和机电耦合。然而，我们提出的FEM微观结构模拟平台可作为建模这些更复杂微观结构的平台。
6. d33,eff 的取向依赖性
在正文中，我们给出了在0°方向下拟合得到的 d33,eff 值。此处，d33eff 随取向的变化关系及其95%置信区间如图S13所示。与有效柔顺系数类似，压电系数也表现出90°周期性，并在45°处达到最小值。
图S13. d33,eff 的取向依赖性。 阴影区域为拟合得到的 d33,eff 的95%置信区间。
图S14. 低温测量装置示意图。 稀释制冷机内部的布线示意图。
附录J：低温测量与校准
1. 测量装置
低温测量采用图S14所示的装置进行。待测器件（DUT）通过引线键合到印刷电路板（PCB）上，并封装在铜盒内，安装于稀释制冷机的混合室平台上。输入微波信号通过输入线传输，并经过70 dB衰减。从待测器件反射的信号通过输出线中的环行器组传输，随后在4 K温区使用高电子迁移率晶体管放大器（LNF-LNC0.3-14B HEMT）进行放大，之后经室温放大器进一步放大。输入和输出微波信号连接至矢量网络分析仪（VNA）的端口1和端口2，以测量叉指换能器的 S11 频谱。
2. 校准方法
低温表征的范围必然比室温研究更为有限。在室温下，探针台允许快速测量同芯片上共制备的多个器件，而每次低温测量都需要将器件进行引线键合并封装，限制了每次冷却循环中可表征的器件数量。此外，像室温那样直接提取导纳和 keff2 需要对低温布线进行原位去嵌入和短路-开路-负载（SOL）校准，而当前装置不具备此功能；这正是我们采用自校准的 γe 标度方法的动机。
所测器件的线宽（数十MHz）与稀释制冷机布线寄生驻波模式的自由光谱范围（FSR）相当。这些FSR纹波在 S11 频谱中与器件谐振峰重叠，因此需要仔细校准。由于装置中存在环行器，标准的SOL微波校准只能通过特定的VNA设置来实现，这需要重新布线VNA的内部放大器，如文献[76]所述。为克服这一限制，我们实施了零延迟直通校准方法，即将测得的 S11 归一化到同一微波路径上但不含待测器件时的参考 S11 轨迹。然而，在制冷机内部频繁连接和断开器件并不现实，因为这样会引入过多的热量。因此，我们利用钛酸钡的铁电特性——在接近0 V偏置下压电响应可被关闭，此时只包含背景响应（包括布线谐振、输入输出线的损耗和增益）。然后我们将 S11 频谱归一化到这一背景，以获得校准后的压电响应。需注意，矫顽场随温度变化，这意味着压电响应为零时的偏置电压随温度而改变。因此，我们通过扫描偏置电压来找到各温度下的矫顽场。
3. 低温下压电常数的标度
由于我们使用的是自校准的零延迟直通方法，无法获得叉指换能器的导纳，因此无法拟合 keff2。为此，我们通过正文中外部耦合系数 γe 的标度来估算压电响应，γe 正比于有效机电耦合常数，定义为[4, 23]：
其中 K2 代表材料本征机电耦合因子，ceff 和 εeff 分别为有效刚度和有效介电常数。eeff 为有效压电应力常数，通过本构关系 eeff=deffceff 与 deff 相关联[30]。因此，外部耦合系数随有效压电常数、刚度和介电常数的变化关系为：
其中 γe 正比于有效压电常数、刚度和介电常数的函数关系为：
将低温测量与室温测量结果进行比较，我们观察到塞扎瓦模式谐振频率的增加可以忽略不计（<3%），表明在降温测量过程中有效刚度和柔顺系数基本保持不变。由于采用自校准方法，我们无法提取叉指换能器的本征电容 C0，因此无法获得相对介电常数随温度的变化关系。此前有研究报道了钛酸钡薄膜在低至4 K下的介电常数[15]，指出低温介电常数相比室温降低约1.7倍。考虑这一因素，结合 γe 降低4.6倍，我们估算有效 d33,eff 降低约2.8倍（约19 pC/N）。
需注意，在文献[15]中，介电常数的降低幅度随电场增大而减小。因此，在我们的实验中，电场强度为33 MV/m时，介电常数的降低幅度预计小于文献[15]中在20 MV/m下测得的值。在极端情况下，若介电常数无降低，有效压电常数约为25 pC/N。因此，低温下压电系数降低约2-3倍，与文献[15]中测得的电光系数降低幅度一致。未来，低温压电系数可通过更好的微波校准方法直接测量，例如使用低温探针台配合标准SOL校准衬底[77]、低温单端口校准[76]或板载校准[78]。
附录K：基频瑞利模式
除正文中研究的与周期性极化叉指换能器兼容的模式外，我们还观察到在偏置接近零时出现的较低频率的声学谐振。这些模式被确定为基频声学模式，其波长等于叉指换能器周期。这些模式的存在源于较弱的剩余极化，导致外部机电耦合显著减弱。
图S15a展示了在不同叉指周期下、0 V偏置时测得的基频瑞利模式频谱。拟合得到的本征品质因子 Qi 和线宽 γi 如图S15b所示。有趣的是，基频瑞利模式的本征品质因子 Q 比周期性极化高阶模式高出四倍以上。我们将更高的 Qi 归因于体声波耦合的大幅减少，如图S15c中的模态分布所示。与图S1b中的塞扎瓦模式相比，体声波辐射较不明显。更好的表面模式约束源于较低的声速（3600 m/s，在波长为1.8 µm时）。因此，正文中获得的较低机械品质因数并非受限于钛酸钡薄膜的声学损耗，通过选择合适的衬底和更复杂结构的器件设计，可以实现更高品质因数的谐振器。
图S15. 基频瑞利模式的本征品质因数。 a，不同叉指节距（如图中所标注）的叉指换能器的 S11 频谱。各频谱为便于观察在纵向上进行了偏移，y轴刻度间距为10 dB。测量在0 V偏置下进行，突出显示了基频瑞利模式的声学响应。b，基频瑞利模式的本征品质因子 Qi（蓝色）和线宽 γi（红色）随声波波长的变化关系。由于是基频模式，波长等于叉指换能器周期。c，基频瑞利模式模态分布的数值模拟。色标为位移幅值的对数标度。与图S1b中的塞扎瓦模式模态分布相比，体声波模式的缺失解释了为何基频模式表现出更高的本征品质因子。
文章名：Piezoelectric resonators in thin-film barium titanate from room temperature tomillikelvin
作者：Hao Tian,1, 2, ∗ Shu-Yuan Chang,1, 2, † Nuha Akhtar,3 Kasra Sardashti,4, 5 and Mohammad Mirhosseini1, 2
